Nuevo: pdf con ejercicios (preparación al examen de la 2ª evaluación)

Ante el éxito de la primer entrega de ejercicios, no me he podido resistirme y me he atrevido a  "colgar" una segunda parte con "nuevos ejercicios" (Entendedme: era yo o los ejercicios).  Ahí van (pdf)

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Lógica

Contenidos: Introducción a la lógica de enunciados

1. Lenguaje natural y lenguaje formal

2. ¿Qué es la lógica?, el razonamiento y la verdad formal.

3. El cálculo lógico

    3.1. ¿Qué es un cálculo lógico?

    3.2. Los elementos de un cálculo lógico:

    3.3. La formalización.

4. Los diversos tipos de lógica: La lógica de enunciados o proposicional.

5. La validez formal de un razonamiento.

    5.1. Las tablas de verdad.

    5.2. La deducción natural: reglas de introducción y eliminación.

 

 

Desarrollo de los contenidos.

 

1. Lenguaje natural y lenguaje formal

 

El lenguaje natural u ordinario es el que utilizamos normalmente para comunicarnos. Este lenguaje se caracteriza por ser extraordinariamente rico en usos, significados y matices. De hecho, constantemente se generan nuevos términos y usos.

Sin embargo, esta riqueza se convierte en un inconveniente cuando necesitamos hacer uso de él, de un modo preciso y riguroso.

Veamos dos de esas dificultades:

a. La ambigüedad: muchas palabras del lenguaje natural son "polisémicas", es decir, poseen varios significados. En ocasiones, el significado de un término depende del contexto y del uso que se las dé. Por este motivo, pueden dar lugar a equívocos o malentendidos.

b. Las paradojas: en ocasiones, el uso aparentemente correcto del lenguaje nos lleva a caer en contradicciones. Por ejemplo, la paradoja del "mentiroso".

Estos y otros inconvenientes son los responsables de que algunas ciencias prescindan del lenguaje natural, con el fin de ganar precisión, rigor  y objetividad, y lo sustituyan por otro "artificial": el lenguaje formal.

 

El lenguaje formal (como el de las matemáticas y la lógica), tiene las siguientes características:

1. No utiliza palabras, sino símbolos (x,y...). Estos símbolos constituyen un vocabulario específico.

2. Los símbolos se conectan o enlazan entre sí, mediante otros símbolos (+, -, :...)

3. Posee unas reglas que nos permiten saber operar correctamente con dichos símbolos.

4. Prescinde por completo del significado semántico de los símbolos.

La lógica utiliza este tipo de lenguaje.

 

2. ¿Qué es la lógica?, el razonamiento y la verdad formal.

Etimológicamente viene del término griego "Logos" (palabra, razón..., y también, "ley" que gobierna la naturaleza").

Su definición: la ciencia que estudia las reglas de validez formal de un razonamiento.

Para entender "qué es la lógica", hemos de tener bien claro dos cosas:

1. Qué es un razonamiento

2. Qué se entiende por "validez formal".

 

1. El razonamiento.

Un razonamiento es un conjunto de enunciados relacionados entre sí, de modo que uno de ellos funciona como "conclusión" y se deriva necesariamente de otros, llamados "premisas". Veamos algún ejemplo.

 

Si Norberto no sigue al pie de la letra las indicaciones del médico, se pone malo.

Norberto no sigue al pie de la letra las indicaciones.

Por tanto, se pone malo

 

Veamos otro razonamiento similar a este.

 

Si Norberto no sigue al pie de la letra las indicaciones del médico, se pone malo.

Norberto se pone malo.

Por tanto, Norberto no ha seguido al pie de la letra las indicaciones del médico.

 

¿Cuál es la diferencia entre ambos razonamientos?

 

2. La validez formal.

Decíamos antes que la lógica es la ciencia que estudia la "validez formal" de un razonamiento, esto es: si un razonamiento es válido o no lo es, desde un punto de vista formal. De los dos razonamientos anteriores, uno es válido y otro no. El primero, a diferencia del segundo, está bien construido: a partir de las premisas (Si Norberto no sigue al pie de la letra las indicaciones del médico, se pone malo / Norberto no sigue al pie de la letra las indicaciones), se deriva o deduce correctamente la conclusión (se pone malo).  A la lógica la interesa esto último: que los razonamientos o argumentos estén bien construidos.

 

Lo que hace que un razonamiento sea tal, es que la conclusión se derive necesariamente de las premisas.  Cuando esto ocurre, el razonamiento es formalmente válido. En este sentido, un razonamiento es formalmente válido cuando está bien construido, de modo que, a partir de unas premisas se deriva correctamente (o necesariamente) una conclusión.

 

Algunas precisiones:

1. A la lógica no le interesa la verdad o falsedad de los hechos a los que se refieren los enunciados ("verdad material").

2. La lógica, en tanto que ciencia formal, tan sólo se preocupa por la "verdad formal" de los razonamientos, esto es: de si son o no válidos. 

 

De este modo, podemos encontrarnos con razonamientos "falsos" (desde el punto de vista "material" (la "verdad material" a que antes nos referíamos) pero "bien construidos" y, por tanto, perfectamente válidos y "verdaderos" formalmente hablando. Un ejemplito.

 

Todo el mundo sabe que los pingüinos son grandes informáticos.

Los informáticos saben arreglar los ordenadores infectados de virus.

Por lo tanto, los pingüinos saben arreglar los ordenadores infectados de virus.

 

Y al revés: argumentos verdaderos, pero falsos desde el punto de vista formal.

 

3. El cálculo lógico.

La lógica es una ciencia formal y, como tal, tiene ciertas semejanzas con las matemáticas. Este hecho ha llevado a los lógicos a presentar a la lógica como un CÁLCULO (un "cálculo lógico")

 

3.1. Definición

Un cálculo lógico es un conjunto de reglas sistemáticamente ordenado.

 

3.2. Estructura y elementos de un cálculo lógicos.

La estructura de un cálculo es similar a la estructura de las matemáticas.

 

En matemáticas (cálculos matemáticos) tenemos:

1. Unos símbolos formales (números, signos...)

2. Unas reglas que nos dicen cuándo una expresión matemática está bien formada.

3. Un conjunto de reglas que nos permiten derivar unas fórmulas a partir de otras.

 

En lógica (cálculo lógico) tenemos:

1. Unos símbolos formales. Dichos símbolos pueden ser de tres tipos:

    1.1. Variables proposicionales (p, q, r...)

    1.2. Concectores o juntores (^, v, -->, <-->,  ¬)

    1.3. Símbolos auxiliares:  (  ), [ ], { }

2. Unas reglas de "formación de fórmulas", que nos dicen cuándo una fórmula o expresión lógica está bien formada (ebf)

3. Reglas de transformación de fórmulas o reglas de inferencia, que nos permiten deducir o derivar correctamente unas fórmulas a partir de otras.

 

    3.3. La formalización de enunciados.

 

La lógica (cálculo lógico) es una ciencia formal, que trabaja con símbolos formales. Por eso, antes de empezar a trabajar, tenemos que transformar en símbolos el lenguaje natural. A este proceso se le da el nombre de "formalización".

Para formalizar un argumento nos serviremos de los símbolos formales a los que aludíamos en el apartado anterior (variables, conectores y símbolos auxiliares). De esto hablaremos más adelante.

 

4. Los diversos tipos de lógica: La lógica de enunciados o proposicional.

 

La lógica elemental se divide en:

1. lógica de enunciados o proposicional

2. lógica de predicados

 

En la lógica de enunciados la unidad mínima es el enunciado, es decir, un segmento lingüístico que tiene sentido completo por sí mismo:

 

Esta fiesta es muy divertida

Esta fiesta es muy divertida y la música es muy buena

 

Para que un enunciado sea tal, tiene que poder atribuírsele valores de verdad o falsedad.

En el caso de las dos oraciones anteriores, la verdad o falsedad habrá de determinarse empíricamente, comprobando si, de hecho, la fiesta es divertida y buena la música. En este caso, además, la dificultad es aún mayor ya que se trata de una afirmación subjetiva.

 

La lógica de enunciados (o lógica proposicional), trata del estudio de la composición de enunciados mediante conectores (y, o, si...entonces, etc.) y se fundamenta en el principio de bivalencia, según el cual, todo enunciado es verdadero o falso, pero nunca ambas cosas a la vez..

Podemos decir, por lo tanto, que la lógica de enunciados se dedica a formalizar las proposiciones del lenguaje natural en un lenguaje simbólico y a definir los conectores, estudiando las leyes de combinación o deducción de los enunciados que las contienen.

 

En la lógica de predicados se formaliza y estudia la oración atendiendo a los dos términos que la componen: el sujeto y el predicado.

Nosotros aquí tan sólo vamos a trabajar con la lógica de enunciados o proposicional.

 

Trabajando con la lógica de enunciados: la formalización de enunciados.

 

1. Los enunciados:

Los enunciados pueden ser "simples" (o "atómicos") o "moleculares" ("complejos")

1. Los enunciados "simples" o "atómicos" son del tipo "Esta fiesta es muy divertida" o "La música es muy buena".

    - Tienen sentido completo por sí mismos.

    - Se les puede atribuir valores de verdad o falsedad.

    - No tienen conectores de ningún tipo.

2. Los enunciados "moleculares" son combinación de enunciados atómicos, utilizan conectores del tipo "y", "o", "si... entonces", "si y solo si... entonces", "no" o "no es verdad que..." . Ejemplo: Esta fiesta es muy divertida y, además, la música es muy buena, o No sé qué hacer esta tarde: o salgo con los amigos o me quedo en casa.

 

2. Los conectores o juntores de los enunciados moleculares.

 

Los enunciados moleculares se sirven de "conectores" o "juntores" para unir dos o más enunciados atómicos. Estos son los distintos conectores o "juntores".

1. NEGACIÓN: se representa por el símbolo ¬. Así, el enunciado ¬p se leería como: " no p"; "no es cierto que p"; "ni p". El enunciado "no es verdad que no me guste el fútbol" se formalizaría así: ¬¬p, donde p es la variable que representa a "me gusta el fútbol".

 

2. CONJUNCIÓN: su símbolo es  ^. El enunciado : "Viajo a la India y a China" se formularía: p^q , donde p es la variable que representa a viajar a India y q es la variable que representa a viajar a China. p^q se leerá: "p y q"

 

3. DISYUNCIÓN: Su símbolo es V y se traduce por o. El enunciado : "LLegaré en tren o en avión" se formularía: pvq, donde p es la variable que representa llegar en tren y q a la variable que representa llegar en avión.

 

4. CONDICIONALO IMPLICADOR: Su símbolo es -> y se traduce por: si....entonces. El enunciado: "Si vienes pronto, iremos al cine" se formularía: p --> q , donde p es la variable que representa al antecendente venir pronto y c a la variable ir al cine. Podemos complicarlo un poco más y encontrarnos con lo siguiente: p --> ( q --> r ) se leerá como: si p entonces si q entonces r

 

5. BICONDICIONAL O COIMPLICADOR: Su símbolo es <-> y se lee: si y sólo si o también: cuando y sólamente cuando. El enunciado "Si y sólo si respetas el deber eres moral" se formularía: p <--> q, donde p es la variable que representa respetar el deber y q la variable ser moral.

 

Ejercicios de formalización de enunciados.

 

Formaliza los siguientes enunciados:

a. No es cierto que no me guste bailar

b. Me gusta bailar y leer libros de ciencia ficción.

c

d. Si y sólo si viera un marciano con mis propios ojos, creería que hay vida extraterrestre.

e. Una de dos: o salgo a dar un paseo, o me pongo a estudiar como un energúmeno.

f. Si los elefantes volaran o supieran tocar el acordeón, pensaría que estoy como una regadera y dejaría que me internaran en un psiquiátrico.

g. Prefiero ir de vacaciones o estar sin hacer nada si tengo tiempo para ello y no tengo que ir a trabajar.

 

 

Tarea: formaliza los siguientes enunciados

a. Si bebes no conduzcas.

b. No es posible estar en la procesión y tocar las campanas.

c. Sin justicia no puede haber auténtica paz

d. Sabemos que los muertos son poderosos soberanos; quizás nos asombre saber que son también los peores enemigos.

e. Cuando uno no tiene imaginación, la muerte es poca cosa; pero si uno la tiene, la muerte es demasiado.

f. Tengo entendido que el Real Madrid no va a ganar la liga y que el Valencia tampoco. Si esto es así, habrá problemas con los aficionados.

 

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Solución:

a. [p me gusta bailar]. ¬(¬p)

b. [p me gusta bailar. q  me gusta leer libros de ciencia ficción]. p ^ q

c.

d. [ p ver un marciano con mis propios ojos. q creer en los extraterrestres ]. p  <-> q

e. [ p salir a dar un paseo. q estudiar como un energúmeno]. p V q

f. [ p los elefantes vuelan. q los elefantes tocan el acordeón. r estar loco. s internar en un psiquiátrico ]. (p V q) -> ( r ^ s)

g. [ r ir de vacaciones. s no hacer nada. p tener tiempo. q ir a trabajar ]. (p ^ ¬ q ) -> (r V s)

 

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Teoría sobre lógica de enunciados y formalización

En esta página puedes contrastar (y ampliar) los apuntes que has tomado en clase de filosofía.

 

Aprende lógica.

 

 

 

 

 

 

Teoría sobre lógica y ejercicios (formalización, Tablas de verdad, Reglas básicas de deducción natural)

 

Ejercicios con reglas básicas.

 

Reglas derivadas.

 

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Axa: reinventado los seguros

Falacias lógicas